Ocena SARS-CoV-2/COVID19 prekuženosti v Sloveniji na dan 22.12.2020
Oceniti prekuženost na določen dan v nobenem primeru ni enostavna naloga. Približek te ocene skušam tu dobiti z matematičnim pristopom. Vemo, da v konstantnih razmerah in dovolj »daleč« v epidemiji ta sama po sebi rahlo pada, ker je iz dneva v dan vse manj dovzetnih ljudi za okužbo. To upočasnjevanje epidemije se odraža v počasi padajočem reprodukcijskem faktorju R. Bolj kot smo na začetku epidemije, manj je izražen ta efekt, ker je dovzetnih ljudi še ogromno. V tem primeru zniževanja R s časom skoraj ni opaziti. Dlje kot smo v epidemiji, višja je prekuženost, manj je dovzetnih. R se s tem sčasoma opazno zmanjšuje, ker vsak okuženi nima več na razpolago enako ljudi za prenos okužbe. Torej, višja kot je prekuženost, hitreje se pri istem dnevnem številu novookuženih R zaradi sprotnega prekuževanja zmanjšuje.
Mi sproti dobivamo podatke, kako pri nas poteka epidemija. Vsakodnevno dobivamo podatke o številu novookuženih. Vsak dan tako lahko za nazaj tudi izračunamo, kakšno je recimo pred 7 dnevi pri nas bilo reprodukcijsko število R. Torej bom poskušal iz krivulje padajočega R ugotoviti, pri kakšni prekuženosti bi R padal točno na tak način, ki je razviden iz podatkov in izračunov.
Naredim nekaj predpostavk in poenostavitev:
- Izračun delamo na obdobju padajoče epidemije;
- Izračun delamo v obdobju konstantnih razmer, ko je epidemija že kar nekaj časa v teku, ko so ljudje že navajeni in se s časom približno enako obnašajo, ko so ukrepi države ves čas enaki, …
- R izračunamo z razmerjem tedenskih vsot prijavljenih primerov, kar je seveda le približek za pravi R, a dovolj dober glede na namen in ambicije tega ocenjevanja. S t.i. »delay differential equations (DDEs)« se na tem mestu ne bomo ukvarjali;
- Vsak okuženi okuži naprej R ljudi, v povprečju to stori v 7 dneh (t0=7 dni);
- Za padanje R v določenem ozkem časovnem intervalu uporabimo eksponentno krivuljo, kar je dovolj soliden približek dejanske logistične krivulje;
- Imamo zanemarljivo število reinfekcij;
- …
V Sloveniji je praktično nemogoče najti obdobje takih konstantnih razmer. Vedno se kaj spreminja. A obdobje od konca novembra do danes je vseeno soliden približek takih razmer. Ni bilo nobenih novih ukrepov ali sproščanj, in ljudje so že navajeni. Vemo, od danes (22.12.2020) naprej se pri nas začne izvajati množično testiranje in to bo v javljenih podatkih vneslo določeno stopnjo šuma. Vemo tudi, da se je s 1.12. med testi začelo pojavljati večje število verificiranih hitrih testov, kar je navidezno dvignilo delež pozitivnih. Pred tem pa smo od nekje 20.11.2020 že imeli nekako mirno obdobje rahlo padajočega R. Ocenjujem, da je 22.11.2020 (tZ) z RZ=1.0257 dokaj zanesljiva osnova za začetno točko intervala, v katerem bomo računali. Kot končna točka bo vzet 20.12.2020 (t2) z R2=0.9169.
Ker delam na tedenski bazi, je potrebno določiti še R1 na datum 13.12.2020 (t1). Iz podatkov in izračunov se tega ne da enostavno prebrati zaradi omenjenih sprememb pri testiranju v začetku decembra, ki pa so se do sredine decembra iznihale. Zato predpostavim, da je R med tZ in t2 padal po eksponentni funkciji od RZ do R2. Vmes je preteklo 28 dni, kar je ravno 4*t0. Osnova te eksponentne funkcije je tako enaka četrtemu korenu razmerja R2/RZ, kar znaša 0.97236.
R2=R1*0.97236
Ob t2 (20.12.) imamo torej neko prekuženost P2 (med 0% in 100%), dovzetnih D2=1-P2, nek trenuten reprodukcijski faktor R2 (=0.9169) ter do takrat skupaj zabeleženih C2 primerov (=105899).
Ob t1 (13.12.) smo imeli skupno zabeleženih C1 primerov (=96314). Prekuženost je bila takrat P1=(C1/C2)*P2. Dovzetnih je bilo D1=1- C1/C2*P2. Reprodukcijski faktor je bil R1=R2/0.97236.
Če se dovzetni zmanjšajo na polovico, bo tudi R padel na polovico, ker ima vsak okuženi na voljo pol manj tarč. Razmerje dovzetnih je torej enako razmerju reprodukcijskih števil.
D2/D1=R2/R1 … (1-P2)/(1- C1/C2*P2)=R2/R1
P2=rC*(1-rR)/(rC-rR)
rR=R2/R1=0.97236, rC=C2/C1=105899/96314=1.09952
P2=23.90% … za primer eksponentne funkcije R(t) na intervalu tZ do t2
Približna ocena prekuženosti Slovenije na dan 20.12.2020 je 23.90%.
Omenjeni dodatni verificirani hitri testi v decembru sliko teoretično lahko malce pokvarijo. Ker nekako sklepam, da je teh dodatnih pozitivnih testov moralo v povprečju biti okoli 350 na dan (v tem primeru delež pozitivnih ne naraste tako čudno), bi bila potem ocena za R2 3.3% nižja (od obeh tedenskih vsot primerov odštejem okroglo 2500). Tako bi bil R2=0.8866 namesto 0.9169. Četrti koren razmerja 0.8866/1.0257 je potem rR=0.96422 namesto 0.97236.
rR=0.96422, rC=1.09952
P2=rC*(1-rR)/(rC-rR)
P2‘=29.08% … eksponentna funkcija R(t) na intervalu tZ do t2 , upoštevani hitri testi
Naredim še preizkus, kaj se zgodi, če med tZ in t2 za R(t) napeljem linearno funkcijo namesto eksponentne. Dobim R1=0.9441…
rR=0.97119, rC=1.09952
P2=rC*(1-rR)/(rC-rR)
P2‘=24.7% … za primer linearne funkcije R(t) na intervalu tZ do t2
Z uporabo pravilnejše eksponentne funkcije namesto skrajne poenostavitve z linearno funkcijo dobimo le za 0.8% nižjo prekuženost. Če bi torej uporabili še bolj pravilno logistično funkcijo, rezultat ne bi bil kaj dosti drugačen od 23.90%. Upam si trditi, da ne bi bil nižji od 23.5%.
Končna ocena prekuženosti je torej nekje med 23.5% in 29%. Vzamem zaokroženo srednjo vrednost 26%.
Pomemben razmislek
Zdaj pa še pomemben razmislek: vsi R, s katerimi operiram, so v bistvu računani za teden dni nazaj. Števila uradno javljenih primerov na določen dan tudi ne kažejo števila okuženih na tisti dan, ampak je vmes spet ravno okoli 7 dni zamika (čas med infekcijo in pozitivnim testom je 7-8 dni). Torej s to metodo nismo računali prekuženosti na dan 20.12.2020, ampak na dan 13.12.2020.
Končna ocena
13.12.2020 je prekuženost v Sloveniji znašala 26% +/- 2%.
Peter Malovrh
25.12.2020
starejše verzije dokumenta:
- prva verzija dokumenta: 22.12.2020
COVID-19 Slovenija 